
\prob{0069}{三元轮换等式}

若$a, b, c$互不相同，且满足

\[ a + \frac1b = b + \frac1c = c + \frac1a = x \]

求$x$。
\problabels{yellow/代数, green/代数求值问题}

\ans{$x = \pm1$}

\subsection{一元三次方程}

基本思路：通过已知关系解关于$x$的一元三次方程得到$x$。

由$x = a + \sfrac1b$知$b = \sfrac1{x - a}$，由$x = c + \sfrac1a$知$\sfrac1c = \sfrac a{ax - 1}$。

于是由$x = b + \sfrac1c$知

\begin{align*}
  \frac1{x - a} + \frac a{ax - 1} &= x \\
  (ax - 1) + a(x - a) &= x(x - a)(ax - 1) \\
  2ax - 1 - a^2 &= ax^3 - a^2x^2 - x^2 + ax \\
\end{align*}

整理得

\begin{align*}
  (x^2 - 1)a^2 - (x^3 - x)a + (x^2 - 1) &= 0 \\
  (x^2 - 1)(a^2 - xa - 1) &= 0 \\
\end{align*}

故有$x = \pm1$或$x = a + \sfrac1a$。而当$x = a + \sfrac1a = a + \sfrac1b$时，有$a = b$，与题设矛盾，故$x = \pm1$。
